误差函数(Error Function)的推导与物理意义
1. 误差函数的定义
误差函数(Error Function)定义为：
erf(x)=2π∫0xe−t2dt
\text{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^x e^{-t^2} dt
erf(x)=π2∫0xe−t2dt
互补误差函数(Complementary Error Function)：
erfc(x)=1−erf(x)=2π∫x∞e−t2dt
\text{erfc}(x) = 1 - \text{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_x^\infty e^{-t^2} dt
erfc(x)=1−erf(x)=π2∫x∞e−t2dt
2. 数学推导
2.1 从高斯积分出发
考虑高斯积分：
I=∫−∞∞e−x2dx=π
I = \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}
I=∫−∞∞e−x2dx=π
通过极坐标变换可证明该积分值。将积分限改为[0,x]：
erf(x)=2π∫0xe−t2dt
\text{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^x e^{-t^2} dt
erf(x)=π2∫0xe−t2dt
2.2 级数展开
对e−t2e^{-t^2}e−t2进行泰勒展开后逐项积分：
erf(x)=2π∑n=0∞(−1)nx2n+1n!(2n+1)
\text{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{n! (2n+1)}
erf(x)=π2n=0∑∞n!(2n+1)(−1)nx2n+1
2.3 渐近展开（大x近似）
erfc(x)≈e−x2xπ(1−12x2+34x4−⋯ )
\text{erfc}(x) \approx \frac{e^{-x^2}}{x\sqrt{\pi}} \left(1 - \frac{1}{2x^2} + \frac{3}{4x^4} - \cdots \right)
erfc(x)≈xπe−x2(1−2x21+4x43−⋯)
3. 基本性质
3.1 对称性
erf(−x)=−erf(x)erf(0)=0,erf(∞)=1
\text{erf}(-x) = -\text{erf}(x) \\
\text{erf}(0) = 0, \quad \text{erf}(\infty) = 1
erf(−x)=−erf(x)erf(0)=0,erf(∞)=1
3.2 导数关系
ddxerf(x)=2πe−x2
\frac{d}{dx} \text{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} e^{-x^2}
dxderf(x)=π2e−x2
3.3 积分关系
∫erf(x)dx=xerf(x)+e−x2π+C
\int \text{erf}(x) dx = x \text{erf}(x) + \frac{e^{-x^2}}{\sqrt{\pi}} + C
∫erf(x)dx=xerf(x)+πe−x2+C
4. 物理意义与应用
4.1 扩散过程
在Fick扩散定律的解中，浓度分布常表示为：
c(x,t)=c0erfc(x2Dt)
c(x,t) = c_0 \text{erfc}\left(\frac{x}{2\sqrt{Dt}}\right)
c(x,t)=c0erfc(2Dtx)
xxx：距界面距离DDD：扩散系数ttt：时间
4.2 概率统计
描述正态分布的累积概率：
P(X≤x)=12[1+erf(x−μσ2)]
P(X \leq x) = \frac{1}{2} \left[1 + \text{erf}\left(\frac{x-\mu}{\sigma\sqrt{2}}\right)\right]
P(X≤x)=21[1+erf(σ2x−μ)]
4.3 热传导
一维热传导方程的解包含误差函数：
T(x,t)=T0erf(x2αt)
T(x,t) = T_0 \text{erf}\left(\frac{x}{2\sqrt{\alpha t}}\right)
T(x,t)=T0erf(2αtx)
α\alphaα为热扩散系数
5. 特殊函数关系
相关函数关系式正态分布Φ(x)=12[1+erf(x/2)]\Phi(x) = \frac{1}{2}[1+\text{erf}(x/\sqrt{2})]Φ(x)=21[1+erf(x/2)]虚误差函数erfi(x)=−ierf(ix)\text{erfi}(x) = -i \text{erf}(ix)erfi(x)=−ierf(ix)Fresnel积分C(z)+iS(z)=1+i2erf(π2(1−i)z)C(z)+iS(z) = \frac{1+i}{2} \text{erf}\left(\frac{\sqrt{\pi}}{2}(1-i)z\right)C(z)+iS(z)=21+ierf(2π(1−i)z)6. 数值计算
6.1 近似公式
erf(x)≈1−(a1t+a2t2+a3t3)e−x2,t=11+px
\text{erf}(x) \approx 1 - (a_1t + a_2t^2 + a_3t^3)e^{-x^2}, \quad t=\frac{1}{1+px}
erf(x)≈1−(a1t+a2t2+a3t3)e−x2,t=1+px1
(p=0.47047p=0.47047p=0.47047, a1=0.3480242a_1=0.3480242a1=0.3480242, a2=−0.0958798a_2=-0.0958798a2=−0.0958798, a3=0.7478556a_3=0.7478556a3=0.7478556)
PS
Q：为什么要有2/√π这个系数？
A：为了让erf(∞)=1，这样更便于概率计算
Q：误差函数和正态分布什么关系？
A：标准正态分布Φ(x) = [1 + erf(x/√2)]/2
Q：什么时候会用到这个函数？
A：只要涉及"逐渐累积"的过程都会用到，比如：热量传播；粒子扩散；信号传输